Die Viviani-Kurve

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Eine Parameterdarstellung für die Viviani-Kurve mit Radius r = 1 lautet:

x(t) = cos(t)^2
y(t) = cos(t)*sin(t)
z(t) = sin(t)

Verschiebe im folgenden GeoGebra-Applet den Regler für den Parameter t und beobachte die Lage des Punktes der Raumkurve und seine drei „Schatten“! Alternativ kannst du auch die Animation starten.

Download der GeoGebra-Datei

• Beschreibe die Formen der auf die drei Koordinatenebenen projizierten Kurve!
• Beobachte und beschreibe, wie oft die „Schattenkurven“ durchlaufen werden, wenn die Raumkurve einmal gezeichnet wird!
• Öffne das obige GeoGebra-Applet, variiere die Parameterdarstellung und beobachte ähnliche Kurven!
• Die Viviani-Kurve entsteht als Schnittkurve zwischen Kugel und Zylinder. Recherchiere dazu!
• Die Viviani-Kurve lässt sich als Ortslinie definieren. Recherchiere dazu!
• Vergleiche obige Parameterdarstellung der Viviani-Kurve mit folgender Definition der Viviani-Kurve:

x(t) = 1 + cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = 2 sin (t/2)

Der Satz von Viviani bezieht sich auf gleichseitige Dreiecke (mehr dazu).

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