Screenshot: A. Nussbaumer

Das Prinzip von Cavalieri

(zu tm.jpg 8, S. 72 - 73)

Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1657) war ein italienischer Mönch, Mathematiker und Astronom. Mit seinen Berechnungen von Oberflächen und Rauminhalten nahm er Methoden der Differential- und Integralrechnung vorweg.

In der Schulmathematik verwenden wir das Cavalierische Prinzip:

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn jede Schnittfläche parallel zur Grundfläche in gleicher Schnitthöhe der beiden Körper den gleichen Flächeninhalt hat.

Dieses Prinzip lässt sich mit verschiedenen, gleich hohen Stößen gleicher Geldmünzen leicht veranschaulichen:

thema-mathematik.at_images_cav_01.jpg thema-mathematik.at_images_cav_02.jpg thema-mathematik.at_images_cav_03.jpg

Wir verwenden das Prinzip von Cavalieri hier, um die Formel für das Volumen einer Halbkugel (und somit für die Kugel) nach Archimedes zu zeigen: Das Volumen der Halbkugel entspricht dem Volumen eines Drehzylinders mit gleichem Radius und Höhe, aus dem ein Kreiskegel mit gleichem Radius und Höhe herausgeschnitten wird …

Verschiebe im folgenden GeoGebra-Applet den roten Punkt B entlang der Kugelachse, um die Flächeninhalte der zugehörigen Schnittflächen zu vergleichen:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Download der GeoGebra-Datei

(Hinweis: Lösche die Spur der Strecken mit der Schaltfläche „Spur löschen“.)

Aufgaben

Die Schnitthöhe h wird durch die Position des Punktes B bestimmt.

  • Gib eine Formel für den Flächeninhalt des Schnittkreises der Halbkugel in Abhängigkeit von der Schnitthöhe h an!
  • Gib eine Formel für den Flächeninhalt des Kreisringes in Abhängigkeit von der Schnitthöhe h an!
  • Überprüfe, dass die beiden Flächeninhalte gleich sind (vergleiche tm.jpg 8, S. 73)!

Ausblick

Studium