sehnenviereck

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Sehnenviereck

(zu 5, S. 220 - 222)

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Die Seiten sind somit Sehnen des Kreises.

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Aufgaben:

Überprüfe, dass gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks supplementär sind: $tex:\alpha + \gamma = 180^\circ$ , $tex:\beta + \delta = 180^\circ$ (Hinweis: Zeichne die entsprechenden Winkel im GeoGebra-Beispiel ein und gib ihre Größen an)!
Beweise den Satz (Hinweis: Verwende den Peripheriewinkelsatz)!

Untersuche weitere Eigenschaften im folgenden GeoGebra - Beispiel. Sie beziehen sich auf die Seitenlängen a, b, c und d des Vierecks, auf die Längen der Diagonalen e und f sowie auf die Abschnitte der Diagonalen von den Eckpunkten zu ihrem Schnittpunkt S.

Download der GeoGebra-Datei

$tex:\overline {AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS}$ („Sehnensatz“)
$tex:e = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$
$tex:f = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$
$tex:a \cdot c + b \cdot d = e \cdot f$

Für den Flächeninhalt A des Vierecks gilt: $tex:A = \frac{e \cdot (ab + cd)}{4R} = \frac{f \cdot (ad + bc)}{4R}$ (R … Kreisradius)
Für den Radius R gilt: $tex:R = \frac 1 {4A} \cdot \sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}$ (A … Flächeninhalt des Vierecks)

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