Temperaturausgleich

tm.jpg 6, S. 176 - 177, 8, S. 128 - 129

Hat ein Objekt eine andere Temperatur als die Umgebung („Raumtemperatur“), dann gleicht sich die Temperatur nach einer gewissen Zeit aus: Eine heiße Flüssigkeit kühlt aus, ein kalter Körper erwärmt sich bis zur Raumtemperatur …

Es liegt ein beschränktes Wachstumsmodell vor. Wir lösen es hier mit einem diskreten Modell.

Beispiel:

80°C heißes Wasser kühlt bei einer Raumtemperatur von 20°C während eines Zeitraumes von 60 Minuten ab. Bestimme die Abkühlkurve!

tex:y_{n+1} = y_n + 0,03 \cdot (20 - y_n) mit tex:y_0 = 80

Wir berechnen die Temperaturwerte iterativ in der Tabellenansicht:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Hinweis: Gib die Iterationsformel als Berechnungsformel in das Tabellenfeld B3 ein: =B2 + 0.03 (r - B2) und kopiere diese in die nächsten Felder!

Download der GeoGebra-Datei

Aufgaben:

  • Wähle verschiedene Ausgangstemperaturen, indem du den roten Punkt A verschiebst und interpretiere die Ergebnisse, wenn die Ausgangstemperatur oberhalb oder unterhalb der Raumtempertur r liegt!
  • Wir erhalten aus obiger Iterationsgleichung die folgende Differenzengleichung: tex:y_{n+1} - y_n = 0,03 \cdot (20 - y_n) mit tex:y_0 = 80, tex:\Delta y = 0,3 \cdot (20 - y_n) mit tex:y_0 = 80. Rechne nach!

Zurück zu Modelle | AN1.4