Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen gezeigt.

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tech:ggb:folgen_und_reihen [2013/07/12 17:36] (aktuell)
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 +====== Folgen und Reihen ======
 +
 +**Ex:** Ulam-Folge\\
 +a) Berechne für Startwerte $1\leq n \leq 20$ mit Hilfe der Tabellenkalkulation die Glieder der Ulam-Folge (bis Folgenglied 1 auftritt)\\
 +b) Stellle die Folgenglieder im $n-a_n-$Diagramm dar!
 +
 +Hinweis: Beachte, dass der Vergleichsoperator in der Form ''​==''​ eingegeben werden muss (''​Wenn[Mod[B1,​ 2] ≟ 0, B1 / 2, 3B1 + 1]''​)
 +
 +++++ Ausführung:​|
 +{{:​tech:​folgen_und_reihen-ulam.png|}}
 +++++
 +
 +\\
 +
 +**Ex:** a) Berechne die ersten 30 Glieder der Folge `a(n)=3/​(3+n)` \\
 +b) Gib eine graphische Darstellung der Folgenverlaufes an. (Verwende dazu den Befehl ''​Folge[(i,​ a(i)), i, 1, k]''​)\\
 +c) Berechne den Grenzwert der Folge `a(n)=3/​(3+n)` ​ \\
 +d) Veranschauliche die `\epsilon`-Umgebung für einige kleine Epsilons.
 +
 +++++ Ausführung|
 +{{:​tech:​folgen_und_reihen-folgegrenzwert1.png|}}
 +++++
 +
 +\\
 +
 +**Ex:** Iterationen\\
 +In einem See gibt es derzeit etwa 6000 Fische. Die maximal mögliche Fischmenge im See wird auf $G=8000$ geschätzt. Die Fischpopulation vermehre sich (im Wesentlichen nur) proportional zum aktuellen Freiraum mit einem Proportionalitätsfaktor von 6\%.
 +
 +a) Entwickle ein mathematisches Modell zur Beschreibung des Fischbestandes im See in Form einer Differenzengleichung und führe mit einer Tabellenkalkulation eine Simulation durch.
 +
 +b) Wie entwickelt sich der Fischbestand bei konstanter Fangrate, dh. wenn vereinbart wird, $10\%$ des Anfangsbestandes zu fangen?
 +Stelle wieder eine Differenzengleichung auf und führe mit einer Tabellenkalkulation eine Simulation durch.
 +
 +c) Wie entwickelt sich der Fischbestand bei variabler Fangrate, dh. wenn vereinbart wird, $10\%$ des jeweils aktuellen Bestandes zu fangen? Stelle wieder eine Differenzengleichung auf und führe mit einer Tabellenkalkulation eine Simulation durch.
 +
 +d) Zeige, dass alle drei Differenzengleichungen vom Typ $y_{n+1} = a\cdot y_n + b $ sind.
 +
 +++++ Ausführung a-c)|
 +$y_{n+1}=y_n+0.1 \cdot (8000-y_n) $ mit $y_0 = 6000$
 +
 +zu b) Differenzengleichung zur Entwicklung der Fischpopulation:​
 +
 +$y_{n+1}=y_n+0.1 \cdot (8000-y_n) - r\cdot y_0$ mit $y_0 = 6000$
 +
 +zu c) Differenzengleichung zur Entwicklung der Fischpopulation:​
 +
 +$y_{n+1}=y_n+0.1 \cdot (8000-y_n) - r\cdot y_n$ mit $y_0 = 6000$\\
 +
 +
 +{{:​tech:​folgen_und_reihen-iterationfische.png|}}
 +
 +
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 +
 +++++ Ausführung d)|
 +Differenzengleichung a)  $y_{n+1}=y_n+k\cdot(G-y_n)=\underbrace{(1-k)}_{a_1}\cdot y_n + \underbrace{k\cdot G}_{b_1} $
 +
 +Differenzengleichung b)  $y_{n+1}=y_n+k\cdot(G-y_n)-r\cdot y_0=\underbrace{(1-k)}_{a_2}\cdot y_n + \underbrace{k\cdot G -r\cdot y_0}_{b_2} $
 +
 +Differenzengleichung c)  $y_{n+1}=y_n+k\cdot(G-y_n)-r\cdot y_n=\underbrace{(1-k-r)}_{a_3}\cdot y_n + \underbrace{k\cdot G}_{b_3} $
 +
 +Es liegt also in allen drei Fällen ein begrenztes Wachstum vor. Im ersten Fall strebt dieses offensichtlich dem Wert $G=8000$ zu (davon geht man ja bei der Modellbildung aus).
 +Das Langzeitverhalten lässt auch sich mit folgender Überlegung ermitteln. Nehmen wir an, $\bar{y}$ sei jener Bestand, der sich langfristig einstellt, dann gilt: 
 +
 +für den Fall a) $\bar{y} = \bar{y}+k \cdot (G-\bar{y}) \Rightarrow \bar{y} = \frac{k\cdot G}{k} = G = 8000$\\
 +für den Fall b) $\bar{y} = \bar{y}+k \cdot (G-\bar{y}) - r\cdot y_0  = (1-k)\cdot \bar{y} - k\cdot G - r\cdot y_0
 +\Rightarrow \bar{y} = \frac{k\cdot G -r \cdot y_0}{k} = G - \frac{r}{k}\cdot y_0= -2000$\\
 +für den Fall c) $\bar{y} = \bar{y}+k \cdot (G-\bar{y}) -r \cdot \bar{y} = (1-k-r)\cdot \bar{y} + k\cdot G
 +\Rightarrow \bar{y} = \frac{k\cdot G}{k+r} =  3000$
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