Inhaltsverzeichnis
Thema Pascal'sches Dreieck
Wir haben gesehen, wie das Pascal'sche Dreieck aussieht:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
- Schreibe dieses dreieckige Zahlenschema weiter auf. Ergänze mindestens 5 neue Zeilen!
Dreieckszahlen
Wir zeichnen mit Hilfe von einzelnen Punkte immer größere Dreiecke. Das funktioniert so:
- Zeichne weitere Dreiecke und zähle ab, wie viele Punkte du zum Zeichnen benötigst!
Wir erhalten die sogenannten Dreieckszahlen dn:
→ d1 = 1
→ d2 = 1+2 = 3
→ d3 = 3+3 = 6
→ d4 = 6+4 = 10
→ d5 = 10+5 = 15
- Setze die Liste der Dreieckszahlen fort.
- Die Dreieckszahlen kommen auch im Pascal'schen Dreieck vor! Suche sie!
- Berechne die Summe von je zwei benachbarten Dreieckszahlen. Was fällt dir auf? Kannst du deine Vermutung beweisen?
- Berechne die Differenz von je zwei benachbarten Dreieckszahlen. Was fällt dir auf? Kannst du deine Vermutung beweisen?
- Begründe, warum gilt: dn = 1 + 2 + 3 + … + n
- Zeige folgende Formel:
Die Dreieckszahlen besitzen eine bemerkenswerte Eigenschaft: Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von höchstens 3 Dreieckszahlen schreiben.
Beispiel: 67 = 36 + 21 + 10
- Überlege, wie die Zahlen 48, 62, 85 und 91 als Summe von maximal 3 Dreieckszahlen gebildet werden können.
- Schreibe weitere natürliche Zahlen als Summe von maximal 3 Dreieckszahlen!
Quadratzahlen
Ähnlich wie bei den Dreieckszahlen zeichnen wir mit Hilfe einzelner Punkte immer größere Quadrate:
- Zeichne weitere Dreiecke und zähle ab, wie viele Punkte du zum Zeichnen benötigst!
Wir erhalten die Quadratzahlen dn:
→ q1 = 1
→ q2 = 1+3 = 4
→ q3 = 4+5 = 9
→ q4 = 9+7 = 16
- Setze die Liste der Quadratzahlen fort.
- Begründe, warum gilt: dn = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1)
- Zeige folgende Formel:
- Jede Quadratzahl ist die Summe von zwei Dreieckszahlen! Veranschauliche diese Aussage durch eine graphische Darstellung! Versuche, diese Aussage präzise zu formulieren und rechnerisch zu beweisen!
- Die Summe der ersten n Quadratzahlen nennt man Pyramidenzahl:. Berechne die ersten 5 Pyramidenzahlen.
- Überprüfe die Formel
- Versuche, für die Fünfeckzahlen ähnliche Eigenschaften zu finden, wie sie für Dreick- und Quadratzahlen gültig sind.
Fibonacci Zahlen
Die Folge der Fibonacci-Zahlen wurde um 1200 von Leonardo Fibonacci (ca. 1180 - 1240, Pisa) benutzt, um die Zunahme einer Kaninchenpopulation zu beschreiben.
- Am Beginn gibt es ein Paar Kaninchen, die geschlechtsreif sind.
- Jedes geschlechtsreife Paar bringt pro Monat ein Paar Kaninchen zur Welt.
- Ein neugeborenes Paar wird im zweiten Monat geschlechtsreif.
Damit erhalten wir:
- Monat: 1 Pärchen (nicht geschlechtsreif)
- Monat: 1 Pärchen (geschlechtsreif)
- Monat: 2 Pärchen (1 geschlechtsreif; 1 nicht geschlechtsreif)
- Monat: 3 Pärchen (2 geschlechtsreif; 1 nicht geschlechtsreif)
- Monat: 5 Pärchen (3 geschlechtsreif; 2 nicht geschlechtsreif)
- Monat: 8 Pärchen (5 geschlechtsreif; 3 nicht geschlechtsreif)
usw.
Wir erhalten die Fibonaccizahlen fn:
→ f1 = 1
→ f2 = 1
→ f3 = 1+1 = 2
→ f4 = 1+2 = 3
→ f5 = 2+3 = 5
→ f6 = 3+5 = 8
- Setze die Liste der Fibonaccizahlen fort.
- Überlege, dass gilt: Die Summe der Quadrate zweier benachbarter Fibonaccizahlen ist wieder eine Fibonaccizahl.
- Überlege, dass gilt: und und usw.
- Die Fibonaccizahlen kommen ebenfalls im Pascal'schen Dreieck vor. Folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Pascal'schen Dreieck und soll dir helfen, sie in diesem Dreieck zu finden:
Hinweis: Betrachte Kästchen mit gleicher Farbe gemeinsam!
Weblinks:
- Fibonacci-Zahlen (Mathematik zum Anfassen BRα) - MediaPlayer erforderlich
- Figurierte Zahlen (MathSpace, Prof. Dr. Rudolf Taschner) - MediaPlayer erforderlich
- Binomialkoeffizienten (MathSpace, Prof. Dr. Rudolf Taschner) - MediaPlayer erforderlich
- Blaise Pascal (MathSpace, Prof. Dr. Rudolf Taschner) - MediaPlayer erforderlich
Ausblick
- Kombinatorik (siehe Thema Mathematik 6)
- Binomischer Lehrsatz (siehe Thema Mathematik 7)