Maxima: Kurven und Flächen im Raum

Hinweis: Die folgenden Darstellungen wurden mit maxima (vgl. wxMaxima) und GNU-Plot erstellt; die Bilder wurden als PNG-Export von GNU-Plot erzeugt.

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Die gute Darstellung von Raumkurven und Flächen ist eine interessante Herausforderung! Es ist günstig, wenn du die Aufgaben auf deinem Computer ausführen kannst - maxima und Gnu-Plot stehem dir dazu kostenlos zum Download zur Verfügung.

Tipp: Kopiere die komplizierten Ausdrücke direkt von der Webseite in die maxima-Eingabe!

Arbeitsblatt: Schnittpunkte dreier Kugeln


Bereits in der 6. Klasse hast du Geraden im Raum und Ebenen in Parameterdarstellen kennen gelernt:

Geraden

Die Gerade g: X(t) = (0|0|0) + t (1|2|-1) verläuft durch den Koordinatenursprung und hat den Richtungsvektore (1|2|-1):

x(t) = t
y(t) = 2t
z(t) = -t
plot3d([t,2*t,-t],[t,-4,4],[u,-4,4],['grid,20,20]);

Überprüfe die korrekte Darstellung dieser Geraden im folgenden maxima-Output:

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima)

Ebenen

Die Ebene wird durch einen Anfangspunkt (Einstiegspunkt) und mit zwei Richtungsvektoren mit je einem Parameter beschrieben:

Ebene: X(t) = (1|0|1) + t (1|-1|0) + u (1|2|1)

x(u,v) = 1 + u +  v
y(u,v) =   - u + 2v
z(u,v) = 1     +  v
plot3d([1+u+v, -u+2*v, 1 + v],[u,-4,4],[v,-4,4]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima)

Lagebeziehungen

Tangentialebenen

Kurven im Raum

Analog zur Parameterdarstellung in der Ebene stellen wir Kurven im Raum dar; dabei verwenden wir zusätzlich eine Beschreibung der z-Koordinate:

Beispiel: Kreislinie in einer horizontalen Ebene

x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = 2
plot3d([cos(t), sin(t), 2],[t,0,2*%pi],[u,0,2*%pi],['grid,100,2]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima)

Beispiel: Schraubenlinie (Helix)

Beachte den Unterschied zur Kreislinie: Die z-Koordinate wächst mit dem Parameter t und verschiebt die Punkte der Kreislinie nach oben …

x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = t
plot3d([cos(t), sin(t), -12 + t],[t,0,8*%pi],[u,0,2*%pi],['grid,100,2]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima)

Untersuche an Hand der GeoGebra-Animation, wie die Helix entsteht!

Beispiel: Schraubenlinie auf einer Kegelfläche

Beachte den Unterschied zur Helix: Der Radius fällt mit der monoton fallenden linearen Funktion (4 - t/8)…

x(t) = cos(t) * (4 - t/8)
y(t) = sin(t) * (4 - t/8)
z(t) = t
plot3d([cos(t)*(4-t/8), sin(t)*(4-t/8),t],[t,0,8*%pi],[u,0,1],['grid,100,2]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima)

Weitere Bilder:

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima)

Flächen im Raum

Die Flächen werden durch zwei Parameter, z.B. durch die Parameter u und v beschrieben. Beachte genau die Zuordnung zu den drei Raumkoordinaten!

Beispiel: Zylinderfläche

x(u,v) = cos(u)
y(u,v) = sin(u)
z(u,v) = v
plot3d([cos(u),sin(u),v],[u,0,2*%pi],[v,-2,2]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Beachte genau die Intervalle, für die die Paramter u und v definiert sind!

Untersuche, wie die Zylinderfläche in der GeoGebra - Animation zustande kommt!

Weitere Beispiele:

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Beispiel: Kegelfläche

Beachte den Unterschied zur Zylinderfläche: Der Radius nimmt mit (1 - v/6) ab (lineare Funktion)…

x(u,v) = cos(u)*(1 - v/6)
y(u,v) = sin(u)*(1 - v/6)
z(u,v) = v
plot3d([cos(u)*(1-v/6), sin(u)*(1-v/6), v],[u,0,2*%pi],[v,1,6]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Weitere Beispiele:

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Beispiel: Kugelfläche

Beachte den Unterschied zur Zylinderfläche: Der Radius nimmt mit sqrt(36 - v^2) ab (Quadratwurzelfunktion)…

x(u,v) = cos(u)*sqrt(36 - v^2)
y(u,v) = sin(u)*sqrt(36 - v^2)
z(u,v) = v
plot3d([cos(u)*sqrt(36 - v^2), sin(u)*sqrt(36 - v^2), v],[u,0,2*%pi],[v,0,6]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Die „Einheitskugel“ kannst du mit folgender Parametrisierung darstellen:

x(u,v) = cos(u) * cos(v)
y(u,v) = sin(u) * cos(v)
z(u,v) = sin(v)
plot3d([cos(u) * cos(v), sin(u) * cos(v),  sin(v)], [u, 0, 2*%pi], [v, 0, 2*%pi]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Weitere Beispiele:

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Beispiel: Hyperboloid

Beachte den Unterschied zur Zylinderfläche: Der Radius nimmt mit 1/v ab (Hyperbel)…

x(u,v) = cos(u) / v
y(u,v) = sin(u) / v
z(u,v) = v
plot3d([cos(u)/v, sin(u)/v, v],[u,0,2*%pi],[v,1,6]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Weitere Beispiele:

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Beispiel: Torus

Erinnere dich:

x(u,v) = cos(u)*6
y(u,v) = sin(u)*6
z(u,v) = 2

Damit erhalten wir einen Kreis mit Mittelpunkt M(0|0|2), Radius r = 6, der in der horizontalen Ebene z = 2 liegt.

Mit

x(u,v) = cos(u)*(6 + 2*cos(v))
y(u,v) = sin(u)*(6 + 2*cos(v))
z(u,v) = 2 + 2*sin(v)

erhalten wir eine Fläche, die durch einen um die obige Kreislinie „rotierenden“ Kreis mit Radius r = 2 entsteht. Sein Mittelpunkt liegt auf der ursprünglich festgelegten horizontalen Kreislinie mit Radius r = 6 …

plot3d([cos(u)*(6 + 2*cos(v)), sin(u)*(6 + 2*cos(v)), 2 + 2*sin(v)], 
[u,0,2*%pi], [v,0,2*%pi], ['grid, 50,50]);

Grafik: Alfred Nussbaumer (maxima, gnuplot)

Weitere Beispiele: