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Konstruiere den Kreis und berechne die Kreisgleichung!
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Einfache Aufgaben zur Kreisgleichung lassen sich rasch durch eine Konstruktion überprüfen. Darüber hinaus gibt es nicht wenige Aufgabenstellungen mit komplexeren Konstruktionsschritten - einige davon sollen hier behandelt werden.
Aufgabe Nr. 10
Der Mittelpunkt eines Kreises liegt auf der 1. Mediane, und die Kreislinie verläuft durch den Koordinatenursprung. Der Punkt P(6|-2) liegt auf dem Kreis. Bestimme die Kreisgleichung!
Geometrische Lösung
Gehe die Konstruktion im folgenden GeoGebra-Applet Schritt für Schritt durch:
*Ergebnis: k: (x - 5)2 + (y - 5)2 = 50
++
===Aufgaben:===
- Verschiebe im [[GeoGebra GeoGebra-Applet]] den roten Punkt P und suche nach weiteren ganzzahligen Lösungen!
- Beschreibe, wie du die zeichnerische Lösung Schritt für Schritt berechnen kannst! Wodurch unterscheidet sie sich von der hier vorgestellten rechnerischen Lösung?
====Aufgabe Nr. 13====
Ein Kreis berührt beide Koordinatenachsen und geht durch den Punkt P(2|1). Bestimme seine Kreisgleichung (2 Lösungen)!
Lösung durch Probieren
Verschiebe im folgenden GeoGebra-Applet den Mittelpunkt M entlang der 1. Mediane so lange, bis die Kreislinie k durch den Punkt P verläuft!
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Download der GeoGebra-Datei
++++ Rechnerische Lösung
Der Mittelpunkt M hat gleiche x- und y-Koordinate: M(u|u); für den Radius gilt r = u. Wir setzen die Koordinaten des Punktes P(2|1) in die Kreisgleichung ein:
![tex:(2 - u)^2 + (1 - u)^2 = u^2]()
Berechne u:
![tex:4 - 4u + u^2 + 1 - 2u + u^2 = u^2 \Rightarrow u^2 - 6u + 5 = 0 \Rightarrow u_1 = 3 + 2 = 5, u_2 = 3 - 2 = 1]()
M1(1|1), r1 = 1; M2(5|5), r2 = 5
Ergebnis: k1: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1; k2: (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25
++
===Aufgaben:===
- Verschiebe den Punkt P und suche weitere Lösungen!
- Überlege, bei welcher Lage des Punktes P der Kreis im 3. Quadranten liegt!
- Recherchiere eine geometrische Lösung** der Aufgabe!
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