Dynamische Systeme

tm.jpg 8, S. 121 - S. 152, Themenheft Mathematik mit GeoGebra 7-8, S. 30 - S. 31

Dynamische Systeme können in diskreten Zeitschritten in Differenzengleichungen berechnet werden (beispielsweise mit der Tabellenkalkulation) oder kontinuierlich mit Hilfe von Differentialgleichungen gelöst werden. Mit GeoGebra können diese Differentialgleichungen numerisch (Algebra-Ansicht) oder exakt (CAS-Ansicht) gelöst werden.

Numerische Lösung (Algebra-Ansicht)

Mit GeoGebra stellen wir bei kontinuierlichen Modellen passend zu einer Funktion in zwei Variablen ein Richtungsfeld dar, wählen den Anfangswert durch den Punkt A und stellen die Lösungsfunktion dar. Die Differentialgleichung tex:y'(t) = f(x,y) (oder tex:y'(t) = f'(x,y)) wird dabei als Funktion in den beiden Variablen x und y eingegeben (vgl. Themenheft GeoGebra 7-8 - Dynamische Systeme).

Beispiel: Die lineare Differentialgleichung y' = k y

Lineares Wachstumsmodell

Exponentielles Wachstumsmodell

Beschränktes Wachstumsmodell

Differentialgleichungen bei Bewegungsvorgängen

Differenzengleichungen sind - etwa bei zweidimensionalen Modellen zur Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld - auch für Vektoren möglich. So wird etwa die Position tex:\vec s(t) eines Körpers nach einem Zeitschritt tex:dt aus seiner (momentanen) Geschwindigkeit tex:\vec v(t) mit einer Differenzengleichung für Vektoren berechnet:

tex:\vec s_{neu}(t) = \vec s_{alt}(t) + \vec v(t) \cdot dt

Solche iterativen Berechnungen mit Vektoren sind natürlich eine hübsche Anwendung in der Tabellenansicht!

Numerisches Lösen von Differentialgleichungen

Systembeschreibung durch Wirkungsdiagramme

Systembeschreibung durch Flussdiagramme

Exakte Lösung (CAS-Ansicht)

GeoGebra stellt in der CAS-Ansicht den Befehl LöseDgl(<y'>,P) zur Verfügung, der versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster und zweiter Ordnung zu finden.