Technologieunterstützte Aufgaben mit Geogebra
Vorbemerkung: Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf die voraussichtlich im Herbst 2013 erscheinende Geogebra-Version 4.4. Da diese Version noch nicht im Gebrauch ist, werden hier noch keine interaktive Versionen der Aufgaben angeboten. Es besteht aber die Möglichkeit, die folgenden Aufgaben mit der aktuellen Entwicklerversion auszuprobieren. Eine der wesentlichen Neuerungen in dieser Version wird die Integration eines neuen Computeralgebra-Systems (GIAC) sein.
Weitere Hinweise und Beispiele zu GeoGebra sind hier zu finden.
Aufgabe TM5-11
Entwickle mit dem CAS eine Funktion, die nur mittels Addition das Produkt von a und b ermittelt
Ausführung:
Geogebra bietet die Möglichkeit, interaktiv zu arbeiten und Animationen zu erstellen.
Durch Ziehen am Schieberegler Iterationsschritte kann die Iteration Schritt für Schritt ausgeführt werden.
Online-Hilfe — Download — Erstellt mit © GeoGebra durch TM-Team
Aufgabe TM5-18
Überprüfe mit einem geeigneten Rechenwerkzeug (z.B. CAS), ob die ersten 7 Zahlen der Bauform 7,37,337,3337,… Primzahlen liefert.
Ausführung:
IstPrimzahl(m) liefert 'true', wenn m eine Primzahl ist, 'false', wenn m keine Primzahl ist, andernfalls wird nicht vereinfacht.
Sollen alle Zahlen auf einmal untersucht werden, so kann man eine Liste mit den gewünschten Zahlen anlegen und dann den Befehl darauf anwenden. Dieser liefert als Ergebnis alle Primahlen aus der angegebenen Liste den Wert 1 (der true entspricht).
Ebenso lassen sich mit dem Befehl BehalteWenn[] aus der Liste die Primzahlen herausfiltern.
Aufgabe TM5-23
Schreibe mit deinem CAS eine Funktion, die dir die Primzahlen in einem Intervall deiner Wahl liefern kann.
Ausführung:
Erzeuge dir eine Liste, die die natürlichen Zahlen des gewünschten Intervalls enthält.
Am einfachsten geht das z.B. mit Folge[n,n,Startwert, Endwert]
Wende nun in der CAS-Ansicht den Befehl BehalteWenn[IstPrimzahl[n],n,Zahlen] an, dadurch werden die Primzahlen in dieser Liste selektiert.
Mit dem Befehl Dimension[Liste] kannst du abzählen lassen, wie viele Elemente die Liste enthält.
Aufgabe TM5-25
Untersuche die Dichte der Primzahlen (Verhältnis der Anzahl der Primzahlen zu allen natürlichen Zahlen im betrachteten Bereich)
a) < 100 b) <1000 c) < 10000
Suche dazu eine geeignete Liste von Primzahlen im Internet.
Ausführung:
Mit der Primzahl-Zählfunktion ![tex:\pi(n)]()
erhältst du z.B. hier die Anzahl aller Primzahlen bis zur Zahl n.
Damit kannst du die gewünschte Primzahldichte bis zur Zahl n leicht ermitteln.
a) 25/100 = 0.25 b) 168/1000= 0.168 c) 1229/10000 = 0.1229
Aufgabe TM5-27
Überprüfe für die Zahlen n = 1 bis n = 11, ob der Term 2n-1 eine Primzahl liefert.
Ausführung:
D.h. für n = 2,3,5 und 7 ist ![tex:2^n-1]()
eine (Mersenne'sche) Primzahl.
Aufgabe TM5-28
Sucht im Internet nach der derzeit größten bekannten Primzahl!
Ausführung:
Die Eingabe Largest known prime oder „largest prime“ in eine Suchmaschine hilft weiter.
Siehe auch unter http://www.mersenne.org/ nach.
Zur Zeit (Juli 2013) ist die Zahl 257885161-1 (die 48. Mersenne'sche Primzahl) die größte bekannte Primzahl.
Aufgabe TM5-37
Entwickle mit dem CAS eine Funktion, die nur mittels Addition das Produkt von a und b ermittelt
Ausführung:
Geogebra bietet die Möglichkeit, interaktiv zu arbeiten und Animationen zu erstellen.
Durch Ziehen am Schieberegler b kann die Iteration Schritt für Schritt ausgeführt werden.
Online-Hilfe — Download — Erstellt mit © GeoGebra durch TM-Team
Aufgabe TM5-38
Entwickle mit dem CAS eine Funktion, die nur mittels Subtraktion den Quotienten und den Rest bei der ganzzahligen Division von a und b ermittelt.
Ausführung:
Geogebra bietet die Möglichkeit, interaktiv zu arbeiten und Animationen zu erstellen.
Durch Ziehen am Schieberegler schritte kann die Iteration Schritt für Schritt ausgeführt werden.
Online-Hilfe — Download — Erstellt mit © GeoGebra durch TM-Team
Aufgabe TM5-58
Ermittle mit einem CAS die Teilermenge einer beliebigen natürlichen Zahl n.
Ausführung:
Mit dem Befehl TeilerListe(n) erhältst du die Liste aller Teiler der natürlichen Zahl n.
TeilerListe(28)
-> {1, 2, 4, 7, 14, 28}
Anmerkung: Der Befehl Teiler(n) liefert dir die Anzahl der Teiler von n und der Befehl Teilersumme(n) die Summe aller Teiler von n.
Teilersumme(28)
-> 56
Aufgabe TM5-80
Wie lässt sich mit dem CAS der ggT bzw. das kgV ermitteln?
Ausführung:
GGT(m1,m2) liefert den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen m1, m2.
Z.B. wird GGT(700, 917) zu 7 vereinfacht.
KGV(m1,m2) liefert das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen m1, m2.
Z.B. wird KGV(700, 917) zu 91700 vereinfacht.
Aufgabe TM5-187
Wie lassen sich auf deinem Taschenrechner am einfachsten Zahlen von Dezimalsystem
(DEC) ins Dualsystem (BIN) oder ins Hexadezimalsystem (HEX) umwandeln? Wie erfolgt die Rückumwandlung ins Dezimalsystem?
Ausführung:
Die Befehle ZuBasis[Zahl,neue Basis] und VonBasis[„Zahl“,Ausgangsbasis] leisten das Gewünschte.
ZuBasis[Zahl,neue Basis] konvertiert die Zahl vom Dezimalsystem in die gewünschte Basis.
VonBasis[„Zahl“,Ausgangsbasis] konvertiert die Zahl von einer nichtdekadischen Darstellung (mit der angegebenen Basis) in das Dezimalsystem. Die Zahl im nichtdekadischen System ist dabei unter doppelten Hochkommata anzugeben.
Aufgabe TM5-1140
