Extremwertaufgabe - Abstandsberechnung 2

(zu tm.jpg 7)

Gegeben sind zwei Kurven f(x) = exp(-x) und g(x) = (10 x + 1) epx(-x).

a) Lege eine senkrechte Gerade und bestimme ihre Schnittpunkte mit den beiden Kurven. Der Abstand d dieser beiden Schnittpunkte variiert - wo ist dieser Abstand am größten?

b) Verbinde die Schnittpunkte der senkrechten Geraden mit den beiden Funktionsgraphen mit ihrem gemeinsamen Punkt auf der y-Achse: Du erhältst ein Dreieck. Bei welcher Lage des Punktes A ist der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?

Verschiebe den Punkt A auf der x-Achse und beobachte den Abstand d der beiden Schnittpunkte und den Flächeninhalt des Dreiecks!

Der Abstand erscheint als Punktespur P.

Der Flächeninhalt des Dreiecks erscheint als Punktespur Q.

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Aufgaben:

  • Gib eine Formel für den Abstand d an!
  • Gib eine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks an!
  • Löse die beiden Aufgaben mit Hilfe geeigneter Tabellen!
  • Löse die beiden Extremwertsaufgaben mit Hilfe geeigneter **Zielfunktionen*!
  • Öffne das GeoGebra-Applet und variiere die zweite Funktion g(x) = (a x + 1) exp(-x). Wie wirkt sich die Variation des Parameters a auf die Lösungen der beiden Extremwertsaufgaben aus?

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